Projekt

Es herrscht in der wissenschaftlichen Literatur Konsens, dass die nobelpreisdekorierte Formel von Black & Scholes aufgrund unrealistischer zugrunde liegender Annahmen verzerrte Bewertungen von Optionen liefert. So wird als stochastischer Prozess für den Preis des Underlyings eine geometrische Brownsche Bewegung benötigt, die eine Normalverteilung für die Differenzen der logarithmierten Preise (sog. log-Renditen oder stetige Renditen) induziert. Zumindest für tägliche Renditen und erst recht für Intratagesdaten ist die Normalverteilung als Verteilungsmodell strikt abzulehnen. In der Arbeit werden deshalb Verteilungen aus der grossen Klasse der unendlich-teilbaren Verteilungen (zu denen auch die Normalverteilung, aber auch die t-Verteilung oder stabile Verteilungen gehören) auf ihre Eignung als Modell für Finanzmarktrenditen untersucht. Von besonderem Interesse sind dabei diejenigen unendlich-teilbaren Verteilungen, deren momenterzeugende Funktion (und damit sämtliche Momente) existieren, da für diese eine Verallgemeinerung der Black & Scholes-Formel relativ leicht vornehmbar ist, die auf die numerische Lösung von partiellen Differentialgleichungen oder stochastischen Differentialgleichungen verzichtet. Der faire Optionspreis wird über ein Martingalmaß ermittelt, das sich mit Hilfe der sog. Esscher-Transformation des zu der unendlich-teilbaren Verteilung gehörenden Lévy-Prozesses ergibt. Es wird nachgewiesen, dass die Annahmen der unendlichen Teilbarkeit und der Existenz der momenterzeugenden Funktion die Flexibilität eines Verteilungsmodells für die Modellierung von Finanzmarktdaten kaum einschränken. Mittels der unendlich-teilbaren verallgemeinerten logistischen und insbesondere einer von Fischer eigens entwickelten weiteren Verallgemeinerung der logistischen Verteilung ist eine realistischere faire Optionsbewertung möglich als mit der Black & Scholes-Formel, wobei die dann vorgeschlagene Formel zwar komplizierter, aber numerisch problemlos handhabbar ist.